L'étude de la chute libre, avec frottements de l'air

Formule force de résistance de l'air. Elle est aussi notée Fr. Lors d'un saut en parachute, il y a deux forces qui agissent sur le parachutiste, soit la force du poids qui l'entraîne vers le bas et la force de la résistance de l'air qui l'entraîne vers le haut. Lorsque le parachutiste sort de l'avion sans parachute, la force de la résistance de l'air est beaucoup plus faible que la  force du poids ainsi le parachutiste accélérera. Fig.1 : le parachutiste accélère                Fig.2 : le parachutiste atteint sa vitesse limite Lorsque le parachutiste arrête d'accélérer, il a atteint une vitesse limite appelée vitesse terminale. À cet instant, la force de la gravité est égale à la force de la résistance de l'air (cette force de frottement étant proportionnelle à la vitesse au carré, (cf. partie B) augmentera jusqu'à l'équilibre des forces respectives de frottements et de gravité). Les forces étant opposées, elles s'annulent, il n'y a donc plus d'accélération.  La vitesse du parachutiste pendant cette période est donnée par la formule suivante : Lorsque le parachutiste ouvre son parachute, l'air s'y engouffre et exerce une force vers le haut : la force de résistance de l'air. Quant à la force de gravité, elle continue à entraîner le parachute vers le bas. La force de la résistance de l'air devient plus grande que celle de la gravité et oblige le parachutiste à ralentir. Ensuite, la force de la résistance de l'air diminuera pour aller à l'encontre de la force de gravité et atteindre de nouveau une vitesse terminale. (cf. activité profil d'un saut en parachute) Schémas des forces qui agissent sur le parachutiste lorsqu'il relâche son parachute. Schéma récapitulatif de l'évolution de la vitesse en fonction du temps. (cf. activité) Calcul de la fonction de la vitesse verticale avec les frottements de l'air. Deuxième loi de Newton :  Or, la loi de Newton dit que la somme des forces appliquées à un corps est égale à la masse de ce corps multiplié par son accélération.   On remarque que dans m*g - k*v2  on a d'une part du signe moins : le poids (m*g) et d'autre part la force de résistance de l'air (k*v2) Ici Fi représente une des forces appliquées au corps, m est la masse du corps (mg est la force de gravité qui tire le corps vers le bas), k est le coefficient de résistance de l'air a est l'accélération v est la vitesse de chute libre du parachutiste (Remarque : kv2 représente la force de résistance de l'air Fr). De la loi de Newton découle donc l'équation différentielle suivante :   car dv/dt est la dérivée de la vitesse par rapport au temps, (dv/dt = a). Si les conditions initiales sont v = 0 lorsque t = 0 alors la solution de cette équation différentielle est :  m est la masse g est la gravite (9,81m/s2) t est le temps en seconde k est le coefficient de résistance de l'air. Cx est le coefficient de traînée A est la surface verticale à l'air k est une partie de la force de la résistance de l'air. Il manque seulement de la multiplier par v2 pour trouver Fr. Ce coefficient change énormément la vitesse du parachutiste car il dépend de la surface incidente à l'air, du coefficient de traînée et de la masse volumique de l'air. Selon le type de saut que le parachutiste va vouloir faire, il se mettra dans différentes positions. Les deux conditions que nous étudierons sont le Vol Relatif et le Vol Relatif Vertical. En Vol relatif les parachutistes sont plutôt à plat donc leur surface incidente à l'air est leur torse. Ils sont le plus souvent par groupe de huit et procèdent à des figures. Quant au VRV, il a peu près le même but que le vol Relatif mais les parachutistes ne sont pas à plat mais à la verticale. Leur surface incidente à l'air est donc leurs pieds ou leur tête. Représentation graphique de cette fonction sous différentes conditions.  Ici le parachutiste est a plat donc la seule partie qui résiste à l'air efficacement est le torse. Il pèse 80kg Le coefficient k est ici égal 0,26 car la surface du torse est environ égale à 0,5m2. Ici la vitesse du parachutiste tend vers 56m/s soit 201km/h. sa vitesse terminale du parachutiste debout est atteinte en environ 15s.  Ici le parachutiste est debout donc la seule partie du parachutiste qui résiste à l'air est les pieds. Il pèse 80kg. Le coefficient k est ici égal 0.068 car la surface de ses pieds est extrêmement petite. La vitesse du parachutiste tend vers 107m/s soit 385km/h. Cette vitesse terminale du parachutiste debout, est atteinte seulement 15s après  celle du parachutiste à plat bien que sa vitesse soit près de 2 fois supérieure. Ceci est également dû au coefficient k qui est quatre fois plus petit chez le parachutiste debout. En intégrant par rapport au temps on obtient la position en fonction du temps, elle est donnée par la formule suivante : Représentation graphique :  Cette fonction nous sert surtout pour l'activité. Les justifications sont à venir. Temps Vitesse (sans frottements)  Vitesse (avec frottements) Distance tombée (sans frottements) Distance tombée (avec frottements)  1 10 m/s 9 m/s 5 m 5 m 2 20 m/s 18 m/s 19 m 15 m 3 30 m/s 27 m/s 45 m 42 m 5 40 m/s 33 m/s 122 m 110 m 10 98 m/s 52 m/s 491 m 348 m 15 148 m/s 55 m/s 1104 m 621 m 20 196 m/s 56 m/s 1962 m 899 m 25 246m/s 56 m/s 3065 m 1179 m 30 294 m/s 56 m/s 4414 m 1459 m Synthèse : Que ce soit avec ou sans frottements, les vitesses atteintes sont trop élevées pour atterrir sans heurts. Afin de limiter la vitesse, la seule et la meilleure façon est d'augmenter le coefficient de résistance k qui a pour paramètres : la masse volumique de l'air, le coefficient de traînée et la surface. Pour augmenter ce coefficient, on peut changer tous ces paramètres mais certains sont plus faciles à changer que d 'autres. Par exemple la densité de l'air est extrêmement difficile a change. Alors que, la surface et le coefficient de traînée sont facilement changeables. C'est là où l'invention du parachutisme rentre en jeu.